Yukicoder075 回数の期待値の問題

問題概要

1個のサイコロを何回か振って目の合計をちょうど$K$にしたい。
もし$K$を超えてしまったら合計を0にリセットする。
ただしサイコロを振った回数はリセットされない。
例えば、$K=5$のときサイコロを1回振って6が出たとする。
この場合は$K$を超えてしまったので合計を0に戻し2回目を振ることになる。
サイコロは目の合計がちょうど$K$になるまで振り続ける。
サイコロを振る回数の期待値を求めよ。

$K\leqq10^2$

yukicoder075

解法

要するに自身を含むdpを解く問題である。

典型らしい。知らなかったので嬉しい。
解法1: $P(0) = P(K+1) = P(K+2)$ …より$K+1$本の連立方程式 で解ける(これは思いつこう☆)
解法2: $P(0)$が全てに絡むので、$dp(i) = Ai*dp(0) + Bi$ として解ける(大事そう☆)
解法3: $dp(K+x)=m$と仮定してDPし、$dp(0)≧m$かどうかを判定する。これは二分探索でできる(たしかに☆)
解法4: ガウスサイデル法で反復し解の収束を行なう(それはそうだね)
解法5: モンテカルロ(うんうん)

計算量: 考えよう…

ソース

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    using VS = vector<string>;    using LL = long long;
    #define FOR(i, s, e) for (int(i) = (s); (i) < (e); (i)++)
    #define FORR(i, s, e) for (int(i) = (s); (i) > (e); (i)--)
    
    template<typename T>
    vector<T> gauss_jordan(const vector<vector<T>>& A, const vector<T>& b) {
        const double EPS = 1e-8;
        int n = (int)A.size();
        vector<vector<T>> B(n, vector<T>(n + 1));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++)
                B[i][j] = A[i][j];
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            B[i][n] = b[i];
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int pivot = i;
            for (int j = i; j < n; j++) {
                if (abs(B[i][j]) > abs(B[pivot][i]))pivot = j;
            }
            swap(B[i], B[pivot]);
    
            if (abs(B[i][i]) < EPS) { //解がないか一意でない
                cerr << "error be." << endl;
                return vector<T>();
            }
    
            for (int j = i + 1; j <= n; j++)B[i][j] /= B[i][i];
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i != j) {
                    for (int k = i + 1; k <= n; k++)
                        B[j][k] -= B[j][i] * B[i][k];
                }
            }
        }
        vector<T> x(n);//解
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            x[i] = B[i][n];
        }
    
        return x;//veci.
    }
    
    
    void solve1(int K) { // 連立方程式
        vector<vector<double>>A(K + 1, vector<double>(K + 1, 0));
        vector<double> b(K + 1, 0);
        FOR(i, 0, K) {
            A[i][i] = 6.0;
            FOR(j, 1, 6 + 1) {
                if (i + j <= K)A[i][i + j]--;
                else A[i][0]--;
            }
            b[i] = 6;
        }
        A[K][K] = 1;
        vector<double>E = gauss_jordan(A, b);
        cout << fixed << setprecision(5) << E[0] << endl;
    }
    
    void solve2(int K) { // 漸化式
        vector<double>A(K + 7, 0), B(K + 7, 0);
    
        // dp[K] = A[K](=0) * dp[0] + B[K](=0) = 0, DP[0] = DP[K+1] = DP[K+2] = (1) * DP[0] + (0)
        FORR(i, K - 1, 0 - 1) {
            FOR(j, 1, 6 + 1) {
                if (i + j <= K) {
                    A[i] += 1.0 / 6.0*A[i + j];
                    B[i] += 1.0 / 6.0*B[i + j];
                }
                else {
                    A[i] += 1.0 / 6.0;
                }
            }
            B[i] += 1.0;
    
        }
    
        // x = Ax+B -> x = B / (1-A)
        cout << fixed << setprecision(5) << B[0] / (1 - A[0]) << endl;
    }
    
    void solve3(int K) { // DP 二分探索
    
        double L = 0, R = 1e7;
        FOR(i, 0, 100) {
            double mid = (L + R) / 2;
            vector<double>dp(K + 1, 0);
            dp[K] = 0;
            FORR(i, K - 1, 0 - 1) {
                double sum = 0;
                FOR(j, 1, 6 + 1) {
                    if (i + j > K)sum += mid;
                    else sum += dp[i + j];
                }
                dp[i] = 1.0 + sum / 6.0;
            }
            if (dp[0] <= mid) {
                R = mid;
            }
            else {
                L = mid;
            }
        }
        cout << fixed << setprecision(5) << R << endl;
    }
    
    void solve4(int K) { // 収束
        vector<double>dp(K + 6, 0);
        FOR(t, 0, 10000) {
            FOR(i, 0, K) {
                double tmp = 6;
                FOR(j, 1, 6 + 1) {
                    if (i + j > K)tmp += dp[0];
                    else tmp += dp[i + j];
                }
                dp[i] = tmp / 6.0;
            }
        }
        cout << fixed << setprecision(5) << dp[0] << endl;
    }
    
    void solve5(int K) { //モンテカルロ法
        LL sum = 0;
        for (int t = 0; t < 100000; t++) {
            int k = 0;
            for (int i = 1; ; i++) {
                k += 1 + rand() % 6;
                if (k == K) {
                    sum += i;
                    break;
                }
                else if (k > K) k = 0;
            }
        }
        cout << fixed << setprecision(5) << sum / 100000.0 << endl;
    }
    
    int main() {
        cin.tie(0);
        ios_base::sync_with_stdio(false);
    
        int K; cin >> K;
        solve3(K);
    
        return 0;
    }